Question

已知函数f（x）=-2x²+4x，g（x）=alnx（a＞0）
（I）若直线l₁交函数f（x）的图象于P，Q两点，与l₁平行的直线l₂与函数f（x）的图象切于点R，求证 P，R，Q三点的横坐标成等差数列；
（II）若不等式f（x）≤4x-g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（III）求证：+++…+＜〔其中n≥2，n∈N^*，e为自然对数的底数）．

Answer

（Ⅰ）由函数f（x）=-2x2+4x，g（x）=alnx（a＞0），知f′（x）=-4x+4，设切点R（x，y）则=-4x+4．由此入手能够证明P、R、Q三点的横坐标成等差数列．
（Ⅱ）由f （x）+g（x）-4x=-2x2+alnx≤0恒成立，令F（x）=2x2-alnx（x＞0），则．由F′（x）=0，得x=．由此利用不等式f（x）≤4x-g（x）恒成立，能求出实数a的取值范围．
（Ⅲ）由（2）知当a=2e时，2x2-2elnx≥0，得≤，由此能够证明+++…+＜．
（Ⅰ）证明：∵函数f（x）=-2x2+4x，g（x）=alnx（a＞0），
∴f′（x）=-4x+4，设切点R（x，y）
则=-4x+4．
令l2：y=（-4x+4）x+b．
联立，消去y得 2x2-4xx+b=0．
令P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=2x，
即P、R、Q三点的横坐标成等差数列．  （4分）
（Ⅱ）【解析】
由已知有f （x）+g（x）-4x=-2x2+alnx≤0恒成立，
令F（x）=2x2-alnx（x＞0），
则．
由F′（x）=0，得x=．
当0＜x＜时，F′（x）＜0，F（x）在区间（0，）上递减；
当时，F′（x）＞0，F（x）在区间（，+∞）上递增．
∴Fmin=F（）=≥0，得0＜a≤4e．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a=2e时有2x2-2elnx≥0，得≤，
∴
≤
＜
=＜．  （14分）