Question

已知函数，设g（x）=x²•f'（x）（x＞0）
（1）是否存在唯一实数a∈（m，m+1），使得g（a）=0，若存在，求正整数m的值；若不存在，说明理由．
（2）当x＞0时，f（x）＞n恒成立，求正整数n的最大值．

Answer

（1）先对f（x）求导，得出g（x）=x-1-ln（x+1），再利用零点存在性定理可以研究g（x）的零点情况，做出解答．
（2）当x＞0时，f（x）＞n恒成立，需考察f（x）的最小值情况．由第（1）题知存在唯一的实数a∈（2，3），使得g（a）=0，且当0＜x＜a时，g（x）＜0，f′（x）＜0；当x＞a时，g（x）＞0，f′（x）＞0，因此当x=a时，f（x）取得最小值．利用g（a）=0，得 出 f（a）=a+1，结合a∈（2，3）得出f（a）∈（3，4），从而n≤3，故正整数n的最大值为3．
【解析】
（1）由，得  g（x）=x-1-ln（x+1）（x＞0），
则，因此g（x）在（0，+∞）内单调递增．（4分）
因为g（2）=1-ln3＜0，g（3）=2（1-ln2）＞0，
即g（x）=0存在唯一的根a∈（2，3），于是m=2，（6分）
（2）由f（x）＞n得，n＜f（x）且x∈（0，+∞）恒成立，
由第（1）题知存在唯一的实数a∈（2，3），使得g（a）=0，且当0＜x＜a时，g（x）＜0，f′（x）＜0；
当x＞a时，g（x）＞0，f′（x）＞0，
因此当x=a时，f（x）取得最小值（9分）
由g（a）=0，得 a-1-ln（a+1）=0，即  1+ln（a+1）=a，于是  f（a）=a+1
又由a∈（2，3），得f（a）∈（3，4），从而n≤3，故正整数n的最大值为3．（12分）