Question

已知函数y=f（x）对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y）且f（1）≠0
（1）记；
（2）在（1）的条件下，设证明：
（i）对任意的n∈N^*
（ii） n∈N^*．

Answer

（1）根据f（x+y）=f（x）•f（y）对于任意的x∈R均成立，可得f（n+1）=f（n）•f（1），即an+1=an•a1，从而可得{an}是以a1为首项，a1为公比的等比数列，再利用成等比数列，即可求得；
（2）在（1）的条件下，，知，
（i）右边=，化简配方可得，从而可得原不等式成立；
（ii）由（i）知，对任意的x＞0，有c1+c2+…+cn≥，取）=，即可证明原不等式成立．
【解析】
（1）∵f（x+y）=f（x）•f（y）对于任意的x∈R均成立，
∴f（n+1）=f（n）•f（1），即an+1=an•a1．（2分）
∵f（1）≠0，∴，
∴{an}是以a1为首项，a1为公比的等比数列，∴．
当a1=1时，an=1，Sn=n，此时bn=2n+1，{bn}不是等比数列，∴a1≠1．
∵成等比数列，
∴b1，b2，b3成等比数列，即．
∵，
解得．（5分）
（2）在（1）的条件下，，知，
（i） =
=
=≤cn，
∴原不等式成立．（8分）
（ii）由（i）知，对任意的x＞0，有=（9分）
∴取）=，（11分）
则．
∴原不等式成立．（14分）