Question

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，，，．
（1）求cosA的值；
（2）求边b的长．

Answer

（1）由四个向量的坐标及，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用诱导公式化简整理后，再利用正弦定理及两角和与差的正弦函数公式化简，根据sinA不为0，可得出cosA的值；
（2）由余弦定理表示出a2=b2+c2-2bccosA，将a，c及cosA的值代入可得出关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．
【解析】
（1）∵向量，，，，
，
∴acosA-ccosB=acos（B+C）+bcosC=-acosA+bcosC，即2acosA=ccosB+bcosC，
由正弦定理得：2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosA=；
（2）由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，又a=，c=4，cosA=，
∴（）2=b2+42-2b×4×，即b2-4b-5=0，
解得：b=5或b=-1（舍去），
则边b的长为5．