Question

在如图所示的几何体中，四边形ACC₁A₁是矩形，FC₁∥BC，EF∥A₁C₁，∠BCC₁=90°，点A、B、E、A₁在一个平面内，AB=BC=CC₁=2，．
（1）证明：A₁E∥AB；
（2）证明：平面CC₁FB⊥平面AA₁EB．

Answer

（1）由四边形ACC1A1是矩形，知A1C1∥AC，AC⊂平面ABC，故A1C1∥平面ABC．由FC1∥BC，BC⊆平面ABC，知FC1∥平面ABC，故平面A1EFC1∥平面ABC，由此能够证明A1E∥AB．
（2）由四边形ACC1A1是矩形，知AA1∥CC1，由∠BCC1=90°，知AA1⊥BC，由AB=BC=2，AC=2，知BC⊥AB，由此能够证明平面CC1FB⊥平面AA1EB．
证明：（1）∵四边形ACC1A1是矩形，
∴A1C1∥AC，AC⊂平面ABC，∴A1C1∥平面ABC．
∵FC1∥BC，BC⊆平面ABC，∴FC1∥平面ABC，
∵A1C1，FC1⊆平面A1EFC1，
∴平面A1EFC1∥平面ABC，
∵平面ABEA与平面A1EFC1、平面ABC的交线分别是A1E、AB，
∴A1E∥AB．
（2）∵四边形ACC1A1是矩形，∴AA1∥CC1，
∵∠BCC1=90°，即CC1⊥BC，
∴AA1⊥BC，
∵AB=BC=2，AC=2，
∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，
即BC⊥AB，
∵AB，AA1⊂平面AA1EB，BC⊥平面AA1EB，而BC⊂平在CC1FB，
∴平面CC1FB⊥平面AA1EB．