Question

已知函数f（x）=+alnx-2（a＞0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，试求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）确定函数的定义域，再求导函数，利用曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求出a的值，从而可得函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对于任意∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，即f（x）min＞2（a-1）成立，求导函数确定函数y=f（x）的单调区间，从而可得函数的最小值，进而可建立不等式，由此可求a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数可得
∴f′（1）=-2+a
∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，
∴-2+a=-1
∴a=1
∴
令f′（x）＞0，可得x＞2；令f′（x）＜0，x＞0，可得0＜x＜2
∴函数y=f（x）的单调增区间为（2，+∞），单调减区间为（0，2）；
（Ⅱ）对于任意∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，即f（x）min＞2（a-1）成立
（a＞0）
令f′（x）＞0，可得；令f′（x）＜0，x＞0，可得0＜x＜
∴函数y=f（x）的单调增区间为（，+∞），单调减区间为（0，）；
∴x=时，函数取得极小值且为最小值
∴f（）＞2（a-1）
∴
∴
∴a的取值范围为．