Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*，都有a_n＞0且，令．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）使乘积b₁•b₂…b_k为整数的k（k∈N^*）叫“龙数”，求区间[1，2012]内的所有“龙数”之和；
（3）判断b_n与b_n+1的大小关系，并说明理由．

Answer

（1）=，当n=1时，，即，解得a1=2，或a1=-1，由an＞0，知a1=2．当n≥2时，an=Sn-Sn-1=，化简，得（an+an-1）（an-an-1-1）=0，由an＞0，知an-an-1=1，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由=，知b1•b2…bk===log2（k+2），令log2（k+2）=m，则k=2m-2，m∈Z，由1≤2m-2≤2012，得3≤2m≤2014，故m=2，3，4，5，…，10．由此能求出区间[1，2012]内的所有“龙数”之和．
（3）由＞，知=＜＜1，故bn＞bn+1．
【解析】
（1）∵=，
当n=1时，，即，
解得a1=2，或a1=-1，
∵an＞0，∴a1=2．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=，
化简，得，
∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0，
∵an＞0，∴an-an-1=1，
∴{an}是首项为2，公差为1的等差数列，
∴an=2+（n-1）=n+1．
（2）∵=，
∴b1•b2…bk===log2（k+2），
令log2（k+2）=m，则k=2m-2，m∈Z，
由1≤2m-2≤2012，得3≤2m≤2014，
∴m=2，3，4，5，…，10．
∴在区间[1，2012]内，k的值为22-2，23-2，…，210-2，
其和为：（22-2）+（23-2）+…+（210-2）
=（22+23+…+210）-2×9
=-18=2026．
（3）∵＞，
∴
=
＜
=
＜=1，
∴bn＞bn+1．