Question

如图，在体积为1的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA₁=1，P为线段AB上的动点．
（1）求证：CA₁⊥C₁P；
（2）当AP为何值时，二面角C₁-PB₁-A₁的大小为？

Answer

（1）先以A为原点，AC，AB，AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，求出各点的坐标以及对应向量的坐标，进而得到•=0即可得到结论；
（2）分别求出两个半平面的法向量，再代入向量的夹角计算公式即可得到结论．
【解析】
（1）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AC，AA1⊥AB．
又∵AB⊥AC，
∴以A为原点，AC，AB，AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系．
又∵V=AB×AC×AA1=1，∴AB=2．（2分）
设AP=m，则P（0，m，0），而C1（1，0，1），C（1，0，0），A1（0，0，1），B1（0，2，1）
∴=（-1，0，1），=（-1，m，-1），=（-1，2，0）
∴•=（-1）×（-1）+0×m+1×（-1）=0，
∴CA1⊥C1P．（6分）
（2）设平面C1PB1的一个法向量=（x，y，z），⇒
令y=1，则=（2，1，m-2），（9分）
而平面A1B1P的一个法向量=（1，0，0），
依题意可知cos==，
∴m=2+（舍去）或m=2-．
∴当AP=2-时，二面角C1-PB1-A1的大小为．（12分）