Question

某旅游景区的观景台P位于高（山顶到山脚水平面M的垂直高度PO）为2km的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且△PAB为等腰三角形．山坡面与山脚所在水平面M所成的二面角为α（0°＜α＜90°），且sinα=．现从山脚的水平公路AB某处C开始修建一条盘山公路，该公路的第一段、第二段、第三段…，第n-1段依次为
CC₁，C₁C₂，C₂C₃，…，C_n-1C_n（如图所示），且CC₁，C₁C₂，C₂C₃，…，C_n-1C_n与AB所成的角均为β，其中0＜β＜90°，sinβ=．试问：
（1）每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米．若修建盘山公路至半山腰（高度为山高的一半），在半山腰的中心Q处修建上山缆车索道站，索道PQ依山而建（与山坡面平行，离坡面高度忽略不计），问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？
（2）若修建xkm盘山公路，其造价为 a万元．修建索道的造价为2a万元/km．问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少．

Answer

（1）在盘山公路上取一个点，作出该点到平面的垂线，再利用三垂线定理作出二面角棱的垂线，连接两个垂足，利用三角函数的定义可求出索道长与山高的倍数关系，得出结论；
（2）设盘山公路修至山高的距离为x，建立关于x的函数，利用导数确定函数的单调性，极小值即为函数的最小值，从而得出最少总价对应的x．
【解析】
（1）在盘山公路CC1上任选一点D，作DE⊥平面M交平面M于E，过E作EF⊥AB交AB于F，连接DF，易知DF⊥CF．sin∠DFE=，sin∠DCF=．
∵DF=CD，DE=DF，∴DE=CD，
所以盘山公路长度是山高的10倍，索道长是山高的倍，
所以每修建盘山公路1000米，垂直高度升高100米．
从山脚至半山腰，盘山公路为10km．从半山腰至山顶，索道长2.5km．（6分）
（2）设盘山公路修至山高x（0＜x＜2）km，则盘山公路长为10xkm，索道长（2-x）km．
设总造价为y万元，
则y=a+（2-x）•2a=（10-5x）a+10a．
令y′=-5a=0，则x=1．
当x∈（0，1）时，y′＜0，函数y单调递减；当x∈（1，2）时，y′＞0，函数y单调递增，
∴x=1，y有最小值，即修建盘山公路至山高1km时，总造价最小，最小值为15a万元．（13分）