Question

已知正项数列{a_n}的首项a₁=，函数f（x）=，g（x）=．
（1）若正项数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），证明：{}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若正项数列{a_n}满足a_n+1≤f（a_n）（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=，证明：b₁+b₂+…+b_n＜1；
（3）若正项数列{a_n}满足a_n+1=g（a_n），求证：|a_n+1-a_n|≤•（）^n-1．

Answer

（1）利用an+1=f（an）（n∈N*），推出an+1与an的关系，然后推出{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）通过an+1≤f（an）（n∈N*），推出，利用bn=，放大bn，然后通过求和b1+b2+…+bn证明结论．
（3）由题意推出a2-a1＞0．证明an+1-an＞0，数列是递增数列，推出|an+1-an|与|an-an-1|的关系，通过放缩法证明即可．
证明：（1）∵an+1=f（an）=，所以=，
即
∴{}是以2为首项，1为公差的等差数列，
，即．（3分）
（2）∵an+1≤f（an）=，an＞0，
∴，即，
当n≥2时=
∴
∴．
当n=1时，上式也成立，
∴，（n∈N*）
∴bn=≤，
∴b1+b2+…+bn＜=1．（8分）
（3）∵a1=，a2=g（a1）=，a2-a1=-=＞0．
又∵an+1-an=-=，
由迭代关系可知，an+1-an＞0，∴an≥a1=．
又∵（2+an）（2+an-1）=（2+）（2+an-1）=5+4an-1≥7，
∴≤，
∴|an+1-an|=|an-an-1|≤|an-an-1|，
∴|an+1-an|≤|an-an-1|≤（）2|an-1-an-2|≤…≤（）n-1|a2-a1|=（）n-1．（13分）