Question

已知圆x²+y²+2x-6y+m=0与x+2y-5=0交于A，B两点，O为坐标原点，若=0，则实数m 的值为    ．

Answer

根据圆的一般方程，得到圆x2+y2+2x-6y+m=0与x+2y-5=0的圆心C（-1，3），坐标适合直线x+2y-5=0方程，因此直线被圆截得的线段AB是圆C的直径．再由数量积=0，得到OA、OB互相垂直，三角形ABO是以O为直角顶点的直角三角形，从而得到原点O在圆C上．将原点坐标代入圆C方程即可得到实数m 的值．
【解析】
将圆x2+y2+2x-6y+m=0与x+2y-5=0化成标准方程，得：（x+1）2+（y-3）2=10-m．
∴圆x2+y2+2x-6y+m=0的圆心为C（-1，3），半径r=
∵点C（-1，3）恰好在直线x+2y-5=0上，∴线段AB是圆C的直径
又∵直线x+2y-5=0交圆C于A，B两点，且=0
∴OA、OB互相垂直，三角形ABO是以O为直角顶点的直角三角形
因此，得到原点O在圆C上．
∴将O（0，0）代入圆C的方程，得m=0
故答案为：0