Question

设F₁、F₂为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若的最小值恰是实轴长的4倍，则该双曲线离心率的取值范围是    ．

Answer

设|PF2|=t，则由双曲线的定义可得|PF1|=2a+t，推出的关系式，利用基本不等式求出最小值，然后推出离心率的范围．
【解析】
由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a．
设|PF2|=t，则|PF1|=2a+t，
所以==+t+4a≥2+4a=8a，
当且仅当 t=2a时，等号成立．
因为P为双曲线右支上任一点，
所以t≥c-a，
所以2a≥c-a，
所以e=≤3．
又因为 e＞1，
所以e的范围为 （1，3]．
故答案为：（1，3]．