Question

如图甲，四边形ABCD是由两个直角三角形拼成的平面图形，△ABD是等腰直角三角形，∠ABD=90°，△CBD中∠C=90°，
∠DBC=30°，CD=1．现将四边形ABCD沿BD折起，使AB⊥平面BCD（如图乙），连AC，作BE垂直AC于E，BF垂直AD于F．

（Ⅰ）求证：AD⊥平面BEF；
（Ⅱ）求BC与平面BEF所成角的余弦值；
（Ⅲ）在线段BD上是否存在一点M，使得CM∥平面BEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）要证AD⊥平面BEF，可通过证明BE⊥AD，BF⊥AD证得．BE⊥AD由BE⊥平面ADC来证得，在等腰直角三角形ABD，可知BF⊥AD．
（Ⅱ）在平面ADC内，过点C作CG平行于AD交FE的延长线于点G，∠CBG为直线BC和平面BEF所成的角．在RT△BGC中求解即可．
（Ⅲ）过点C作CH∥EF交AD于点H，过H作HM∥FB交BD于点M，M即为所求的点．且比值为．
（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥DC，又BC⊥DC，
所以DC⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，则DC⊥BE，…（2分） 
 又BE⊥AC，所以BE⊥平面ADC，得BE⊥AD．
又△ABD是等腰直角三角形，∠ABD=90°，可知BF⊥AD．
BE∩BF=B，所以AD⊥平面BEF…（4分）
（Ⅱ）【解析】
在平面ADC内，过点C作CG平行于AD交FE的延长线于点G，
连接BG，因为AD⊥平面BEF，所以CG⊥平面BEF，
所以∠CBG为直线BC和平面BEF所成的角．…（6分）
由∠DBC=30°，CD=1，
在RT△ABC中，BC=，AB=BD=2，AC= 
由AB2=AE•AC得AE=，CE=，
又AF=AD=，由得CG=．
在RT△BGC中，sin∠CBG==cos∠CBG=，
所以直线BC与平面BEF所成角的余弦值为．…（8分）
（Ⅲ））【解析】
存在一点M，使得CM∥平面BEF．
过点C作CH∥EF交AD于点H，过H作HM∥FB交BD于点M，则平面CMH∥平面BEF，得CM∥平面BEF，点M即为所求的点…（10分）
又四边形CHFG为矩形，所以HF=CG=，
因为HM∥FB，则…（12分）