Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*，有2a_n=S_n+n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设f（n）=n² （n∈N^*），试比较S_n与f（n）的大小，并说明理由．

Answer

（Ⅰ）通过已知条件构造新数列，求出新数列的通项公式，然后求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求出Sn，通过比较n=1，2，比较Sn与f（n）的大小，猜想n≥3时的结果，利用二项式定理证明即可．
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，2a1=a1+1∴a1=1…（1分）
∵2an=Sn+n，n∈N*，∴2an-1=Sn-1+n-1，n≥2，
两式相减得an=2an-1+1，n≥2，即an+1=2（an-1+1），n≥2，
令bn=an+1，则，n≥2且b1=a1+1=2，
所以bn=b1•2n-1=2×2n-1=2n．n∈N*，
∴an=2n-1，n∈N*…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）an=2n-1，n∈N*，
得Sn=（2+22+23+…+2n）-n
=-n
=2n+1-n-2
当n=1，2时，Sn=f（n）；当n≥3时，Sn＞f（n）…（9分）
只需证2n+1＞n2+n+2，n≥3，
利用＞=．
∴2n+1＞n2+n+2，n≥3．…（13分）