Question

已知三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）为R上奇函数，且在x=处取得极值-．记函数图象为曲线C．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）设曲线C与其在点P₁（1，f（1））处的切线交于另一点P₂（x₂，f（x₂）），线段P₁P₂与曲线C所围成封闭图形的面积记为S₁，求S₁的值；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，设曲线C与其在点P₂处的切线交于另一点P₃（x₃，f（x₃）），线段P₂P₃与曲线C所围成封闭图形的面积记为S₂，…，按此方法依次做下去，即设曲线C与其在点P_n（x_n，f（x_n））处的切线交于另一点P_n+1（x_n+1，f（x_n+1）），线段P_nP_n+1与曲线C所围成封闭图形的面积记为S_n，试求S_n关于n的表达式．

Answer

（I）利用奇函数的特点，采用特殊值代入法即可解得b=d=0，再利用函数极值的特点，列方程组即可解得a、c的值，从而确定函数的解析式；
（II）先利用导数的几何意义，计算曲线C与其在点P1（1，f（1））处的切线方程，再利用定积分的几何意义，通过求定积分计算线段P1P2与曲线C所围成封闭图形的面积
（III）先利用导数的几何意义，计算曲线C与其在点Pn（xn，f（xn））处的切线方程，再利用定积分的几何意义，通过求定积分计算线段PnPn+1与曲线C所围成封闭图形的面积Sn，发现数列{Sn}为等比数列，从而利用等比数列的通项公式计算Sn关于n的表达式即可
【解析】
（Ⅰ）∵三次函数为R上奇函数，∴f（0）=0，f（-1）=-f（1）
即d=0且-a+b-c=-a-b-c
∴b=d=0
即f（x）=ax3+cx，f′（x）=3ax2+c，又f（x）=ax3+cx在x=处取得极值-，
∴即
得a=1，c=-1，∴f（x）=x3-x
（Ⅱ）∵f′（x）=3x2-1，f（1）=0，f′（1）=2，
∴曲线C在点P1处的切线方程为y=2（x-1）
由解得x1=1，x2=-2，
∴S1=||=|（）|=
（Ⅲ）f（x）在Pn（xn，f（xn））的切线：
y-（-xn）=（3-1）（x-xn）即y=（3-1）x-2
由解得x=xn或x=-2xn，
∴Pn+1（-2xn，f（-2xn）），xn+1=-2xn，
Sn=|x3-x-[（3-1）x-2]dx|=|（）|=
同理得Sn+1=，又xn+1=-2xn≠0，∴==16，又S1=
∴Sn=•16n-1=•16n  n∈N*．