Question

已知函数的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1）） 处的切线的斜率是-5．
（1）求实数b，c的值；
（2）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值．

Answer

（1）当x＜1时，由f（x）=-x3+x2+bx+c，知f′（x）=-3x2+2x+b．依题意f′（-1）=-5，故b=0，再由f（0）=0，能求出c=0．
（2）当x＜1时，由f（x）=-x3+x2，知f′（x）=-3x2+2x，令f′（x）=0，得x=0，x=．列表讨论，得f（-1）=2；f（0）=0；f（）=；f（1）=0．由此进行分类讨论，能求出f（x）在区间[-1，2]上的最大值．
【解析】
（1）当x＜1时，f（x）=-x3+x2+bx+c，
∴f′（x）=-3x2+2x+b．…（2分）
依题意f′（-1）=-5，
∴-3（-1）2+2（-1）+b=-5，∴b=0，
∴f（0）=0，∴c=0，
∴b=0，c=0．…（4分）
（2）当x＜1时，f（x）=-x3+x2，
f′（x）=-3x2+2x，令f′（x）=0，有-3x2+2x=0，∴x=0，x=．…（6分）

x -1 （-1，0） （0，） （，1） 1
f′（x） - + -
f（x） 2 ↘ ↗ ↘

…（8分）
f（-1）=2；f（0）=0；f（）=；f（1）=0．
∴当x∈[-1，1）时，f（x）最大值为2．…（9分）
当x∈[1，2]时，
当a＜0时，f（x）是减函数；当a=0时，f（x）=0，此时f（x）max=0；…（10分）
当a＞0时，f（x）是增函数，f（x）max=f（2）=aln2．…（11分）
∵当a时，有2≥aln2，f（x）max=2，
当a＞时，有2＜aln2，f（x）max=aln2．…（12分）
∴．…（13分）