Question

设S_n是正项数列{a_n}的前n项和，．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）已知，求T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n的值．

Answer

（I）当n≥2时，利用递推公式4an=4（Sn-Sn-1）=可得an-an-1=2，结合等差数列的通项可求
（II）由题意可得，，则，利用错位相减可求和
【解析】
（I）当n=1时，
又an＞0解得a1=3．
当n≥2时，4an=4（Sn-Sn-1）=．
∴4an=，…（3分）
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0．
∵an+an-1＞0
∴an-an-1=2（n≥2），
∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．
∴an=3+2（n-1）=2n+1．       …（6分）
（II）∵，an=2n+1
∴
∴．①
又因为2Tn=3×22+5×23+…+（2n-1）×2n+（2n+1）×2n+1②…（8分）
②-①可得，+（2n+1）×2n+1     …（10分）
=-6+8-2×2n+1+（2n+1）•2n+1…（11分）
=（2n-1）•2n+1+2．
所以 ．  …（13分）