Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1处的切线方程为 y=3x+1，
（1）若函数y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的表达式；
（2）在（1）条件下，若函数y=f（x）在[-2，m]上的值域为[]，求m的取值范围；
（3）若函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求b的取值范围．

Answer

（1）求出导函数，令导函数在1处的值为3，在-2处的值为0，函数在1处的值为4，列出方程组求出a，b，c的值．
（2）由（1）得：f（x）=x3+2x2-4x+5，画出它的图象，如图，由图可知，若函数y=f（x）在[-2，m]上的值域为[]，m的取值范围．
（3）令导函数大于等于0在[-2，1]上恒成立，通过对对称轴与区间关系的讨论求出导函数在区间的最小值，令最小值大于等于0，求出b的范围．
【解析】
（1）f′（x）=3x2+2ax+b
∵曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．
∴即
∵函数y=f（x）在x=-2时有极值
∴f′（-2）=0即-4a+b=-12
∴
解得a=2，b=-4，c=5
∴f（x）=x3+2x2-4x+5
（2）由（1）得：f（x）=x3+2x2-4x+5，画出它的图象，如图，
由图可知，
若函数y=f（x）在[-2，m]上的值域为[]，
m的取值范围是：[，2]．
（3）由（1）知，2a+b=0
∴f′（x）=3x2-bx+b
∵函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增
∴f′（x）≥0即3x2-bx+b≥0在[-2，1]上恒成立
f′（x）的最小值为f′（1）=1-b+b≥0∴b≥6
f′（-2）=12+2b+b≥0∴b∈∅
，f′（x）的最小值为 ∴0≤b≤6
总之b的取值范围是b≥0