Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

Answer

（I）先由已知建立空间直角坐标系，设D（，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；
（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角
【解析】
（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A-xyz，
设D（，b，0），则C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，-b，0）
∴=（2，0，-2），=（，b，），=（，-b，）
∴•=-=0，•=0
∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E
∴PC⊥平面BED
（II）=（0，0，2），=（，-b，0）
设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则
取=（b，，0）
设平面PBC的法向量为=（p，q，r），则
取=（1，-，）
∵平面PAB⊥平面PBC，∴•=b-=0．故b=
∴=（1，-1，），=（-，-，2）
∴cos＜，＞==
设PD与平面PBC所成角为θ，则sinθ=
∴θ=30°
∴PD与平面PBC所成角的大小为30°