Question

函数f（x）=x²-2x-3，定义数列{ x_n}如下：x₁=2，x_n+1是过两点P（4，5），Q_n（ x_n，f（ x_n））的直线PQ_n与x轴交点的横坐标．
（Ⅰ）证明：2≤x_n＜x_n+1＜3；
（Ⅱ）求数列{ x_n}的通项公式．

Answer

（Ⅰ）用数学归纳法证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为，当y=0时，可得；②假设n=k时，结论成立，即2≤xk＜xk+1＜3，直线PQk+1的方程为，当y=0时，可得，根据归纳假设2≤xk＜xk+1＜3，可以证明2≤xk+1＜xk+2＜3，从而结论成立．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得，构造bn=xn-3，可得是以-为首项，5为公比的等比数列，由此可求数列{ xn}的通项公式．
（Ⅰ）证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为
当y=0时，∴，∴2≤x1＜x2＜3；
②假设n=k时，结论成立，即2≤xk＜xk+1＜3，直线PQk+1的方程为
当y=0时，∴
∵2≤xk＜xk+1＜3，∴

∴xk+1＜xk+2
∴2≤xk+1＜xk+2＜3
即n=k+1时，结论成立
由①②可知：2≤xn＜xn+1＜3；
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得
设bn=xn-3，∴
∴
∴是以-为首项，5为公比的等比数列
∴
∴
∴．