Question

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

日需求量n	14	15	16	17	18	19	20
频数	10	20	16	16	15	13	10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．

Answer

（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；
（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；
（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．
【解析】
（1）当n≥16时，y=16×（10-5）=80；
当n≤15时，y=5n-5（16-n）=10n-80，得：
（2）（i）X可取60，70，80
P（X=60）=0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=0.7
X的分布列为

X 60 70 80
P 0.1 0.2 0.7

EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76
DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44
（ii）购进17枝时，当天的利润为y=（14×5-3×5）×0.1+（15×5-2×5）×0.2+（16×5-1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4
∵76.4＞76，∴应购进17枝