Question

已知函数f（x）满足；
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）若，求（a+1）b的最大值．

Answer

（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；
（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b的最大值
【解析】
（1）
令x=1得：f（0）=1
∴令x=0，得f（0）=f'（1）e-1=1解得f'（1）=e
故函数的解析式为
令g（x）=f'（x）=ex-1+x
∴g'（x）=ex+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增
当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有
f'（x）＜f'（0）=0得：
函数的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，0）
（2）得h′（x）=ex-（a+1）
①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增x→-∞时，h（x）→-∞与h（x）≥0矛盾
②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）
得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）-（a+1）ln（a+1）-b≥0，即（a+1）-（a+1）ln（a+1）≥b
∴（a+1）b≤（a+1）2-（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）
令F（x）=x2-x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1-2lnx）
∴
当时，
即当时，（a+1）b的最大值为