Question

已知函数f（x）=，x∈[1，+∞）．
（1）当a=时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围；
（3）求f（x）的最小值．

Answer

（1）当a=时，f（x）=x++2，求导函数，可得f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，从而可求f（x）在区间[1，+∞）上的最小值；
（2）在区间[1，+∞）上，f（x）=＞0恒成立，等价于x2+2x+a＞0恒成立，即a＞x2+2x（x≥1）恒成立，由此可求实数a的取值范围；
（3），x∈[1，+∞），分类讨论：当a≤0时，函数f（x）递增；当0＜a＜1时，函数f（x）递增；当a＞0时，利用基本不等式可求函数的最小值．
【解析】
（1）当a=时，f（x）=x++2
求导函数，可得
当x≥1时，f′（x）＞0
∴f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，
∴f（x）在区间[1，+∞）上的最小值为f（1）=
（2）在区间[1，+∞）上，f（x）=＞0恒成立，等价于x2+2x+a＞0恒成立
即a＞-（x2+2x）（x≥1）恒成立，
∵函数y=-（x2+2x）（x≥1）的最大值为-3
∴a＞-3
（3），x∈[1，+∞）
当a≤0时，函数f（x）递增，故当x=1时，f（x）min=3+a，
当0＜a＜1时，函数f（x）递增，故当x=1时，f（x）min=3+a，
当a＞0时，≥（当且仅当时取等号），f（x）min=．