Question

已知函数f（x）=a^x+b（a＞0，a≠1）的图象如图所示，数列{a_n}的前n项的和S_n=aⁿ⁺¹+b、T_n为数列{b_n}的前n项的和．且
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）找出所有满足：a_n+b_n+8=0的自然数n的值（不必证明）；
（3）若不等式S_n+b_n+k≥0对于任意的n∈N*．n≥2恒成立，求实数k的最小值，并求出此时相应的n的值．

Answer

（1）由题意得：，解得Sn=2n+1-2，an=Sn-Sn-1=2n+1-2-（2n-2）=2n，由此推导出{bn}．
（2）由题意可得：an+bn+8=2n-20n+12，而方程2n=20n-12只有n=7满足条件．故当n=7时，an+bn+8=0．
（3）由题得2n+1-20n+4+k≥0对于一切n∈N*．n≥2恒成立，即k≥-2n+1+20n-2，令f（n）=-2n+1+20n-2（n∈N*．n≥2），由此推导出当n=4时，k的最小值为46．
【解析】
（1）由题意得：
解之得：，
∴Sn=2n+1-2
∴an=Sn-Sn-1=2n+1-2-（2n-2）=2n
当n=1时，a1=S1=2符合上式故an=2n，n∈N*．（2分）
bn=Tn-Tn-1=4-20n
当n=1时，b1=T1=2，b2=T2-T1=-52不符合上式．
故．（4分）

（2）当n=1时．a1=b1=2、且a1+b1+8≠0不合．
由题意可得：an+bn+8=2n-20n+12
而方程2n=20n-12只有n=7满足条件．
故当n=7时，an+bn+8=0（6分）
（3）由题得：Sn+bn+k≥0，
∴2n+1-20n+4+k≥0对于一切n∈N*．n≥2恒成立
即k≥-2n+1+20n-2（8分）
令f（n）=-2n+1+20n-2（n∈N*．n≥2）
则=f（n+1）-f（n）=-2n+1+20（10分）
当n＜4时，f（n+1）＞f（n）；
当n≥4时．f（n+1）＜f（n）
而f（3）=-24+60-2=42，f（4）=-25+80-2=46
∴k≥46
故当n=4时，k的最小值为46．（14分）