Question

已知k∈R，函数f（x）=m^x+kn^x（0＜m≠1，n≠1）．
（1）如果实数m，n满足m＞1，mn=1，函数f（x）是否具有奇偶性？如果有，求出相应的k值，如果没有，说明为什么？
（2）如果m＞1＞n＞0判断函数f（x）的单调性；
（3）如果m=2，n=，且k≠0，求函数y=f（x）的对称轴或对称中心．

Answer

（1）如果f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x）即m-x+kn-x=mx+knx恒成立，转化成（nx-mx）（k-1）=0，根据nx-mx=0不恒成立，可求出k的值，如果f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x）即m-x+kn-x=-mx-knx恒成立，可转化成（nx+mx）（k+1）=0，根据nx+mx=0不恒成立，可求出k的值；
（2）根据m＞1＞n＞0，则，当k≤0时，显然f（x）=mx+knx在R上为增函数，当k＞0时，求出导函数f'（x），令f'（x）=0求出极值点，从而求出函数的单调区间；
（3）当m=2，n=时，f（x）=2x+k2-x，如果k＜0，根据f（log2（-k）-x）=-f（x）得到函数y=f（x）有对称中心（log2（-k），0），如果k＞0，根据f（log2k-x）=f（x）得到函数y=f（x）有对称轴x=log2k．
（本题满分16分）
【解析】
（1）如果f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x）即m-x+kn-x=mx+knx恒成立，（1分）
即：nx+kmx=mx+knx，（nx-mx）+k（mx-nx）=0，则 （nx-mx）（k-1）=0（2分）
由nx-mx=0不恒成立，得k=1（3分）
如果f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x）即m-x+kn-x=-mx-knx恒成立，（4分）
即：nx+kmx=-mx-knx，（nx+mx）+k（mx+nx）=0，则 （nx+mx）（k+1）=0（5分）
由nx+mx=0不恒成立，得k=-1（6分）
（2）m＞1＞n＞0，则，
∴当k≤0时，显然f（x）=mx+knx在R上为增函数；（8分）
当k＞0时，f'（x）=mxlnm+knxlnn=[lnm+klnn]nx=0，
由nx＞0得lnm+klnn=0得=-k=-klogmn得x=．（9分）
∴当x∈（-∞，]时，f'（x）＜0，f（x）为减函数； （10分）
当x∈[，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．（11分）
（3）当m=2，n=时，f（x）=2x+k2-x
如果k＜0，f（x）=2x+k2-x=2x-（-k）2-x=2x-，（13分）
则f（log2（-k）-x）=-f（x）∴函数y=f（x）有对称中心（log2（-k），0）（14分）
如果k＞0，f（x）=2x+k2-x=2x+，（15分）
则f（log2k-x）=f（x）
∴函数y=f（x）有对称轴x=log2k．（16分）