Question

已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）的单调性（不需要写出理由）；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer

（1）由题意可得f（x）+f（-x）=0对应任意的x都成立，代入函数可求a
另【解析】
由f（x）是R上的奇函数，可得f（0）=0，代入可求a
（2）由（1）知，结合指数函数的性质可判断函数单调性
（3）：解法一：由f（x）是奇函数，可得f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（-2t2+k），结合f（x）在R上为减函数，得：t2-2t＞-2t2+k．，结合二次函数性质可求
解法二：由（1）知，由单调性的定义可得，同法一可求
【解析】
（1）函数f（x）的定义域为R，因为f（x）是奇函数，所以f（x）+f（-x）=0，
即，
故．
另【解析】
由f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，
故．
（2）由（1）知，
由上式易知f（x）在R上为减函数，
（3）：（解法一）又因f（x）是奇函数，从而不等式等价于f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（-2t2+k）．
∵f（x）在R上为减函数，由上式得：t2-2t＞-2t2+k．
即对一切t∈R有3t2-2t-k＞0，
从而判别式△=4+12k＜0
∴
解法二：由（1）知，又由题设条件得：
即
整理得，因底数4＞1，故3t2-2t-k＞0
上式对一切t∈R均成立，从而判别式△=4+12k＜0
∴