Question

设l，m，n是空间三条直线，α，β是空间两个平面，给出下列命题：①当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件；②当m⊂α且n是l在α内的射影时，“m⊥n，”是“l⊥m”的充分不必要条件；③当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”充分不必要条件；④当m⊂α，且n⊄α时，“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件；则其中不正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

①由面面平行的定义与线面垂直的判断定理可得①是真命题．②由三垂线定理可得，“m⊥n，”是“l⊥m”的充要条件．③根据面面垂直的判断定理可得α⊥β；反之若α⊥β则m⊥β不一定成立．④当m⊂α，且n⊄α时，若n∥α则m∥n不一定成立也可能异面；反之由线面平行的判断定理可得n∥α．
【解析】
①当n⊥α时，并且n⊥β则由面面平行的定义可得α∥β；反之也成立．所以①是真命题．
②由三垂线定理可得，“m⊥n，”是“l⊥m”的充要条件．所以②是假命题．
③当m⊂α时，若m⊥β则根据面面垂直的判断定理可得α⊥β；反之若α⊥β则m⊥β不一定成立．所以③是真命题．
④当m⊂α，且n⊄α时，若n∥α则m∥n不一定成立也可能异面；反之若m∥n则由线面平行的判断定理可得n∥α．所以④是假命题．
故选B．