Question

设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果为闭函数，那么k的取值范围是（ ）
A．-1＜k≤
B．≤k＜1
C．k＞-1
D．k＜1

Answer

首先应根据条件将问题转化成：在上有两个不等实根．然后，一方面：可以从数形结合的角度研究两函数和y=x-k在上的交点个数问题，进而获得问题的解答；另一方面：可以化简方程，得关于x的一元二次方程，从二次方程根的分布情况分析亦可获得问题的解答．
【解析】

方法一：因为：为上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，
∴，即f（x）=x在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根．
∴问题可化为和y=x-k在上有
两个不同交点．

对于临界直线m，应有-k≥，即k≤．
对于临界直线n，，
令=1，得切点P横坐标为0，
∴P（0，1），
∴n：y=x+1，令x=0，得y=1，∴-k＜1，即k＞-1．
综上，-1＜k≤．
方法二：因为：为上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，
∴，即f（x）=x在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根．
化简方程，得x2-（2k+2）x+k2-1=0．
令g（x）=x2-（2k+2）x+k2-1，则由根的分布可得，即，
解得k＞-1．又，∴x≥k，∴k≤．
综上，-1＜k≤，
故选A．