Question

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，
（1）以向量方向为侧视方向，侧视图是什么形状？说明理由并画出侧视图．
（2）求证：CN∥平面AMD；
（3）求该几何体的体积．

Answer

（1）根据已知中四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，我们可以判断出其侧视图的形状，及各边的长，进而可画出侧视图．
（2）由已知中四边形ABCD是正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，我们可以得到BC∥平面AMD且NB∥平面AMD，进而由面面平行的判定定理得到平面BNC∥平面AMD，再由线面平行的判定定理得到答案．
（3）连接AC、BD，交于O点，结合已知条件可将该几何体分为四棱锥A-MDBN和四棱锥C-MDBN，分别求出四棱锥A-MDBN和四棱锥C-MDBN的体积，即可得到答案．
【解析】
（1）因为MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，BC=MD=NB，所以侧视图是正方形及其两条对角线；如下科所示
 …（4分）
（2）∵ABCD是正方形，BC∥AD，∴BC∥平面AMD；
又MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB，∴NB∥平面AMD，
所以平面BNC∥平面AMD，故CN∥平面AMD；…（8分）
（3）连接AC、BD，交于O点，∵ABCD是正方形，∴AO⊥BD，
又NB⊥平面ABCD，AO⊥NB，∴AO⊥平面MDBN，…（10分）
因为矩形MDBN的面积，
所以四棱锥A-MDBN的体积
同理四棱锥C-MDBN的体积为，故该几何体的体积为．…（12分）