Question

已知f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），f（1）=2，当x＞0时，f（x）＜0
（1）证明f（x）为奇函数；
（2）证明f（x）为R上的减函数；
（3）解不等式f（x-1）-f（1-2x-x²）＜4．

Answer

（1）取x=y=0有f（0）=0，取y=-x可得，f（-x）=-f（x）；
（2）设x1＜x2，则x2=x1+（x2-x1），由条件可得f（x1）-f（x2）=-f（x2-x1）＞0，从而可得结论；
（3）依题意有f（2）=f（1）+f（1）=4，f（x-1）-f（1-2x-x2）＜4可化为f（x-1）＜f（3-2x-x2），利用函数的单调性脱掉函数“外衣”，解不等式即可．
（1）证明，依题意取x=y=0有f（0）=2f（0），
∴f（0）=0，…1分
又取y=-x可得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）（x∈R），即f（x）+f（-x）=0（x∈R）
∴f（-x）=-f（x）（x∈R）…3分
由x的任意性可知f（x）为奇函数…4分
（2）证明：设x1＜x2，则x2=x1+（x2-x1），…5分
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）-f[x1+（x2-x1）]=f（x1）-[f（x1）+f（x2-x1）]=-f（x2-x1）…7分
∵x2-x1＞0，∴f（x2-x1）＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）为R上的减函数；
（3）依题意有f（2）=f（1）+f（1）=4…9分
∴不等式可化为f（x-1）-f（1-2x-x2）＜f（2），即f（x-1）＜f（1-2x-x2）+f（2），
∴f（x-1）＜f（3-2x-x2），…10分
∵f（x）为R上的减函数，
∴x-1＞3-2x-x2解得x＜-4或x＞1…11分
∴不等式的解集为：{x|x＜-4或x＞1}…12分