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已知f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=2,...

已知f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=2,当x>0时,f(x)<0
(1)证明f(x)为奇函数;
(2)证明f(x)为R上的减函数;
(3)解不等式f(x-1)-f(1-2x-x2)<4.
(1)取x=y=0有f(0)=0,取y=-x可得,f(-x)=-f(x); (2)设x1<x2,则x2=x1+(x2-x1),由条件可得f(x1)-f(x2)=-f(x2-x1)>0,从而可得结论; (3)依题意有f(2)=f(1)+f(1)=4,f(x-1)-f(1-2x-x2)<4可化为f(x-1)<f(3-2x-x2),利用函数的单调性脱掉函数“外衣”,解不等式即可. (1)证明,依题意取x=y=0有f(0)=2f(0), ∴f(0)=0,…1分 又取y=-x可得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)(x∈R),即f(x)+f(-x)=0(x∈R) ∴f(-x)=-f(x)(x∈R)…3分 由x的任意性可知f(x)为奇函数…4分 (2)证明:设x1<x2,则x2=x1+(x2-x1),…5分 ∴f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[x1+(x2-x1)]=f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]=-f(x2-x1)…7分 ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), ∴f(x)为R上的减函数; (3)依题意有f(2)=f(1)+f(1)=4…9分 ∴不等式可化为f(x-1)-f(1-2x-x2)<f(2),即f(x-1)<f(1-2x-x2)+f(2), ∴f(x-1)<f(3-2x-x2),…10分 ∵f(x)为R上的减函数, ∴x-1>3-2x-x2解得x<-4或x>1…11分 ∴不等式的解集为:{x|x<-4或x>1}…12分
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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