Question

已知f（x）=，数列{a_n}为首项是1，以f（1）为公比的等比数列；数列{b_n}中b₁=，且b_n+1=f（b_n），
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式
（2）令，{c_n}的前n项和为T_n，证明：对∀n∈N₊有1≤T_n＜4．

Answer

（1）由f（x）=，知f（1）=，，由b1=，且bn+1=f（bn），得，由此能求出数列{an}和{bn}的通项公式．
（2）由=n•，知，再由错位相减法能够求出结果．
【解析】
（1）∵f（x）=，
∴f（1）==，
∵{an}为首项是1，以f（1）为公比的等比数列，
∴，
∵b1=，且bn+1=f（bn），
∴bn+1=f（bn）=，两边同时取倒数，
得=1+，
∴，
∴为等差数列，
故．
（2）∵=n•，
∴，
，
两式相减整理，得，
∵＞0，
∴＜4，
∵
=
=，
∴{Tn}单调递增，
∴{Tn}min=T1=1，
所以1≤Tn＜4．