Question

设{a_n}和{b_n}均为无穷数列．
（1）若{a_n}和{b_n}均为等比数列，试研究：{a_n+b_n}和{a_nb_n}是否是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列，请写出其前n项和公式．
（2）请类比（1），针对等差数列提出相应的真命题（不必证明），并写出相应的等差数列的前n项和公式（用首项与公差表示）．

Answer

（1）讨论两数列的公比，根据等比数列的性质可判定{an+bn}和{anbn}是否是等比数列，然后利用等比数列的求和公式解之即可；
（2）利用等比中的乘类比到等差中的和，讨论公差是否为0，从而求出相应的等差数列的前n项和公式．
【解析】
（1）①设cn=an+bn，
则-（+）（+）
=a1b1（q1-q2）2
当q1=q2时，对任意的n∈N，n≥2，=cn+1cn-1恒成立，
故{an+bn}为等比数列；        （3分）
∴Sn=（1分）
当q1≠q2时，
对任意的n∈N，n≥2，≠cn+1cn-1，{an+bn}不是等比数列．（2分）
②设dn=anbn，
对于任意n∈N*，，{anbn}是等比数列． （3分）
Sn=  （1分）
（2）设{an}，{bn}均为等差数列，公差分别为d1，d2，则：
①{an+bn}为等差数列；Sn=（a1+b1）n+（d1+d2）（2分）
②当d1与d2至少有一个为0时，{anbn}是等差数列，（1分）
若d1=0，Sn=a1b1n+a1d2；（1分）
若d2=0，Sn=a1b1n+b1d1．（1分）
③当d1与d2都不为0时，{anbn}一定不是等差数列．（1分）