Question

在如图所示的几何体中，四边形ABDE为梯形，AE∥BD，AE⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=BD=2AE，M为AB的中点；
（1）求证：CM⊥DE；
（2）求锐二面角D-EC-M的余弦值．

Answer

（1）证明CM⊥DE，只需证明CM⊥平面ABDE，利用AE⊥CM，CM⊥AB即可证明；
（2）过M作MO⊥AC，则MO⊥平面AEDC，作MF⊥EC，连接OF，则OF⊥EC，故∠MFO为锐二面角D-EC-M的平面角，从而可求．
（1）证明：∵AE⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，
∴AE⊥CM
∵AC=BC，M为AB的中点
∴CM⊥AB，又AB∩AE=A
∴CM⊥平面ABDE
∵DE⊂平面ABDE
∴CM⊥DE；
（2）【解析】
∵AE⊥平面ABC，AE⊂平面AEDC
∴平面AEDC⊥平面ABC
过M作MO⊥AC，则MO⊥平面AEDC
作MF⊥EC，连接OF，则OF⊥EC，
∴∠MFO为锐二面角D-EC-M的平面角
设AC=BC=BD=2AE=2a，则AM=MC=，∴MO=a
△EMC中，，
∴△EMC是直角三角形，
∴a
∴cos∠MFO==