Question

已知点M（1，m）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，点M到抛物线C的焦点F的距离为2，过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l₁、l₂，设l₁与抛物线相交于点A、B，l₂与抛物线相交于点D、E．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求的最小值．

Answer

（1）根据点M（1，m）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，点M到抛物线C的焦点F的距离为2，利用抛物线的定义，可求抛物线C的方程；
（2）设出直线l1的方程，与抛物线的方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，求出两根之和和两根之积，同理将直线l2的方程与抛物线联立，求出两根之和和两根之积，将数量积进行转化，利用抛物线的定义及基本不等式求最值，即可求得的最小值．
【解析】
（1）∵点M（1，m）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，点M到抛物线C的焦点F的距离为2，
∴，∴p=2
∴抛物线C的方程为y2=4x；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3），E（x4，y4）
由题意知，直线l1的斜率存在且不为零，设为k，则l1的方程为y=k（x-1）．
由，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0．
∴x1+x2=2+，x1x2=1．
∵l1⊥l2，∴直线l2的斜率为-，同理可得x3+x4=2+4k2，x3x4=1．
==
=（x1+1）（x2+1）+（x3+1）（x4+1）=x1x2+（x1+x2）+1+x3x4+x3+x4+1
=8+4（k2+）≥8+4×2=16，
当且仅当k2=，即k=±1时，的最小值为16．