Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．
（Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若，∠APB=∠ADB=60°，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer

（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBD，只需证明平面PAC内的直线AC，垂直平面PBD内的两条相交直线PH，BD即可．
（Ⅱ），∠APB=∠ADB=60°，计算等腰梯形ABCD的面积，PH是棱锥的高，然后求四棱锥P-ABCD的体积．
【解析】

（1）因为PH是四棱锥P-ABCD的高．
所以AC⊥PH，又AC⊥BD，PH，BD都在平PHD内，且PH∩BD=H．
所以AC⊥平面PBD．
故平面PAC⊥平面PBD（6分）
（2）因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB=．
所以HA=HB=．
因为∠APB=∠ADB=60°
所以PA=PB=，HD=HC=1．
可得PH=．
等腰梯形ABCD的面积为S=ACxBD=2+（9分）
所以四棱锥的体积为V=×（2+）×=．（12分）