Question

已知定义在R上的函数f（x），对任意x∈R，都有f（x+16）=f（x）+f（8）成立，若函数f（x+1）的图象关于直线x=-1对称，则
f（2008）=（ ）
A．0
B．1008
C．8
D．2008

Answer

由函数f（x+1）的图象关于直线x=-1对称且由y=f（x+1）向右平移1个单位可得y=f（x）的图象可知函数y=f（x）的图象关于x=0对称即函数y=f（x）为偶函数，在已知条件中令x=-8可求f（8）及函数的周期，利用所求周期即可求解
【解析】
∵函数f（x+1）的图象关于直线x=-1对称且把y=f（x+1）向右平移1个单位可得y=f（x）的图象
∴函数y=f（x）的图象关于x=0对称，即函数y=f（x）为偶函数
∵f（x+16）=f（x）+f（8）
令x=-8可得f（8）=f（-8）+f（8）=2f（8），则f（8）=0
从而可得f（x+16）=f（x）即函数是以16为周期的周期函数
∴f（2008）=f（125×16+8）=f（8）=0
故选A