Question

已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足g（x）≠0，f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），f（x）=a^x•g（x），．令，则使数列{a_n}的前n项和S_n超过的最小自然数n的值为    ．

Answer

分别令x等于1和x等于-1代入①得到两个关系式，把两个关系式代入②得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，根据f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x）可知 =ax 是减函数，对求得的a进行取舍，求出数列{an}的通项公式，进而求得其前n项和Sn，解不等式Sn≤，即可求得结果．
【解析】
令x=1，得到f（1）=a•g（1）；令x=-1，f（-1）=•g（-1）．
代入 可得 a+=，化简得2a2-5a+2=0，即（2a-1）（a-2）=0，解得a=2或a=．
∵f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），∴′＜0，
从而可得 =ax 是减函数，故a=．
∴=，Sn==1-．
再由 1-＞ 解得 n＞4，故 n的最小值为5，
故答案为 5．