Question

已知A（0，1）、B（0，2）、C（4t，2t²-1）（t∈R），⊙M是以AC为直径的圆，再以M为圆心、BM为半径作圆交x轴交于D、E两点．
（Ⅰ）若△CDE的面积为14，求此时⊙M的方程；
（Ⅱ）试问：是否存在一条平行于x轴的定直线与⊙M相切？若存在，求出此直线的方程；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求的最大值，并求此时∠DBE的大小．

Answer

（Ⅰ）由题意求出圆心M的坐标、半径BM的长度，用t圆方程求交x轴的弦长，再由△CDE的面积为14求出t．
（Ⅱ）先假设存在一条平行于x轴的定直线与⊙M相切，再利用圆心M到直线的距离等于半径M，求解．
（Ⅲ）对式子通分后观察特点，在△BDE中，设∠DEB=θ，用三角形的面积相等和余弦定理用θ表示所求的式子，再进行整理后由正弦函数的单调性求最大值及θ．
【解析】
（Ⅰ）由题意得，B（0，2）、M（2t，t2），
∴|BM|==；
∴以M为圆心、BM为半径的圆方程为（x-2t）2+（y-t2）2=t4+4，
∴其交x轴的弦，
∴，解得，t=±2，
∴⊙M的方程为（x±4）2+（y-4）2=25；
（Ⅱ）假设存在存在一条平行于x轴的定直线与⊙M相切；
∵，yM=t2，
∴存在一条平行于x轴的定直线y=-1与⊙M相切；
（Ⅲ）在△BDE中，设∠DBE=θ，且DE为弦，故，
由（Ⅰ）得，DE=4，在△BDE中，DE边上的高为2；
由三角形的面积相等得：
，
∴；
由余弦定理得，DE2=BD2+BE2-2BD•BE×cosθ，
∴，
∴，
∴=，
故当时，的最大值为．