Question

已知数列{x_n}和{y_n}的通项公式分别为和．
（1）当a=3，b=5时，
①试问：x₂，x₄分别是数列{y_n}中的第几项？
②记，若c_k是{y_n}中的第m项（k，m∈N⁺），试问：c_k+1是数列{y_n}中的第几项？请说明理由；
（2）对给定自然数a≥2，试问是否存在b∈{1，2}，使得数列{x_n}和{y_n}有公共项？若存在，求出b的值及相应的公共项组成的数列{z_n}，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由条件可得，yn=4n+5．①令x2=9=ym=4m+5，得m=1，令x4=81=yk=4k+5，得k=19，由此能得到x2，x4分别是数列{yn}中的第几项．②由题意知，，由ck为数列{yn}中的第m项，则有32k=4m+5，由此得到ck+1是数列{yn}中的第9m+10项．
（2）设在{1，2}上存在实数b使得数列{xn}和{yn}有公共项，所以，因自然数a≥2，s，t为正整数，故as-b能被a+1整除．由此入手能够推导出存在b∈{1，2}，使得数列{xn}和{yn}有公共项．
【解析】
（1）由条件可得，yn=4n+5．
①令x2=9=ym=4m+5，得m=1，故x2是数列{yn}中的第1项．
令x4=81=yk=4k+5，得k=19，故x4是数列{yn}中的第19项．  …（2分）
②由题意知，，由ck为数列{yn}中的第m项，则有32k=4m+5，
那么，
因9m+10∈N*，所以ck+1是数列{yn}中的第9m+10项．           …（8分）
（2）设在{1，2}上存在实数b使得数列{xn}和{yn}有公共项，
即存在正整数s，t使as=（a+1）t+b，∴，
因自然数a≥2，s，t为正整数，∴as-b能被a+1整除．
①当s=1时，．   ②当s=2n（n∈N*）时，
当b=1时，=（a-1）[1+a2+a4…+a2n-2]∈N*，即as-b能被a+1整除．
此时数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列{zn}，通项公式为（n∈N*）．
显然，当b=2时，，即as-b不能被a+1整除．
③当s=2n+1（n∈N*）时，，
若a＞2，则，又a与a+1互质，故此时．
若a=2，要，则要b=2，此时，
由②知，a2n-1能被a+1整除，故，即as-b能被a+1整除．
当且仅当b=a=2时，aS-b能被a+1整除．
此时数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列{zn}，通项公式为（n∈N*）．
综上所述，存在b∈{1，2}，使得数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列{zn}，
且当b=1时，数列（n∈N*）；当b=a=2时，数列（n∈N*）．…（16分）