Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n+1=pS_n+q（p，q为常数，n∈N^*），a₁=2，a₂=1，a₃=q-3p．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数m，n，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（m，n）；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）由题意，知，解之得，由，当n≥2时，，由此能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由，，得，即，因为2m+1＞0，所以2n（4-m）＞2，由此能够推导出存在符合条件的所有有序实数对（m，n）．
（本小题满分14分）
【解析】
（Ⅰ）由题意，知，
即，
解之得…（2分）
∴，①
当n≥2时，，②
①-②得，，…（4分）
又，所以，
所以{an}是首项为2，公比为的等比数列，
所以．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，
由，得，
即，…（10分）
即，
因为2m+1＞0，所以2n（4-m）＞2，
所以m＜4，且2＜2n（4-m）＜2m+1+4，（*）
因为m∈N*，所以m=1或2或3．…（12分）
当m=1时，由（*）得，2＜2n×3＜8，所以n=1；
当m=2时，由（*）得，2＜2n×2＜12，所以n=1或2；
当m=3时，由（*）得，2＜2n＜20，所以n=2或3或4，
综上可知，存在符合条件的所有有序实数对（m，n）为：
（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（3，4）．…（14分）