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已知焦点在x轴上的椭圆C过点(0,1),且离心率为,Q为椭圆C的左顶点. (Ⅰ)...

已知焦点在x轴上的椭圆C过点(0,1),且离心率为manfen5.com 满分网,Q为椭圆C的左顶点.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)已知过点manfen5.com 满分网的直线l与椭圆C交于A,B两点.
(ⅰ)若直线l垂直于x轴,求∠AQB的大小;
(ⅱ)若直线l与x轴不垂直,是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形?如果存在,求出直线l的方程;如果不存在,请说明理由.

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(Ⅰ)设椭圆C的标准方程为(a>b>0),根据a2=b2+c2,椭圆C过点(0,1),离心率为,即可求得椭圆C的标准方程; (Ⅱ)由(Ⅰ)得Q(-2,0).设A(x1,y1),B(x2,y2). (ⅰ)当直线l垂直于x轴时,直线l的方程为x=-,与椭圆方程联立,求得A,B的坐标,可得直线AQ的斜率、直线BQ的斜率-1,即可求得∠AQB的大小; (ⅱ)当直线l与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x+)(k≠0),与椭圆方程联立,利用韦达定理及向量的数量积,可得△QAB为直角三角形,假设存在直线l使得△QAB为等腰三角形,计算,即可得到结论. 【解析】 (Ⅰ)设椭圆C的标准方程为(a>b>0),且a2=b2+c2. 由题意,椭圆C过点(0,1),离心率为,可知:b=1,=.…(2分) 所以a2=4. 所以,椭圆C的标准方程为.…(3分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得Q(-2,0).设A(x1,y1),B(x2,y2). (ⅰ)当直线l垂直于x轴时,直线l的方程为x=-. 由,解得 即A(-,),B(-,-)(不妨设点A在x轴上方).…(5分) 则直线AQ的斜率1,直线BQ的斜率-1. 因为直线AQ的斜率与直线BQ的斜率为-1,所以AQ⊥BQ,所以∠AQB=.…(6分) (ⅱ)当直线l与x轴不垂直时,由题意可设直线AB的方程为y=k(x+)(k≠0). 由消去y得:(25+100k2)x2+240k2x+144k2-100=0. 因为点A(-,0)在椭圆C的内部,显然△>0.               …(8分) 因为 =(x1+2,y1),=(x2+2,y2),y1=k(x1+),y2=k(x2+), 所以•=(x1+2)(x2+2)+y1y2=(1+k2)x1x2+(2+)(x1+x2)+4+ =(1+k2)×+(2+)()+4+=0 所以 . 所以△QAB为直角三角形.…(11分) 假设存在直线l使得△QAB为等腰三角形,则|QA|=|QB|. 取AB的中点M,连接QM,则QM⊥AB. 记点(-,0)为N. 另一方面,点M的横坐标, 所以点M的纵坐标. 所以=()•()=≠0 所以 与不垂直,矛盾. 所以当直线l与x轴不垂直时,不存在直线l使得△QAB为等腰三角形.…(13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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