Question

设函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+xy（x+y），又f'（0）=1，则函数f（x）的解析式为    ．

Answer

可令y=1可得f（x+1）-f（x）=f（1）+x2+x然后分别赋予x为1，2，3…，（x-1）将这（x-1）个式子相加再结合12+22+…+（x-1）2=可得f（x）=xf（1）+下面只需求出f（1）即可求解而f'（0）=1，两边求导即可求出f（1）=再代入即可求出f（x）．
【解析】
∵f（x+y）=f（x）+f（y）+xy（x+y）
∴令y=1则f（x+1）-f（x）=f（1）+x2+x
∴f（2）-f（1）=f（1）+12+1
f（3）-f（2）=f（1）+22+2
…
f（x）-f（x-1）=f（1）+（x-1）2+（x-1）
∴将上面（x-1）个式子相加可得f（x）-f（1）=（x-1）f（1）+[12+22+…+（x-1）2]+（1+2+3+…+（x-1））
∴f（x）=xf（1）++=xf（1）+
∴f′（x）=f（1）+
∵f'（0）=1
∴f（1）-=1
∴f（1）=
∴f（x）=+=
故答案为f（x）=