Question

已知点P（a，b）（a＞b＞0）与椭圆的两个焦点F₁，F₂构成等腰三角形，则椭圆的离心率e=    ．

Answer

作出椭圆和点P如图，可得△PF1F2中∠PF2F1为钝角，所以若△PF1F2是等腰三角形，必定PF2=F1F2=2c，根据两点的距离公式建立关于a、b、c的方程，解之得a=2c，由此可得椭圆的离心率．
【解析】
∵椭圆的方程是，
∴焦点F1（-c，0），F2（c，0），其中c=
又∵点P（a，b）与焦点F1，F2构成等腰三角形，
∴PF2=F1F2=2c，根据两点的距离公式得：=2c
两边平方，得（a-c）2+b2=4c2，即（a-c）2+a2-c2=4c2
∴2a2-2ac-4c2=0，即a2-ac-2c2=0，可得（a+c）（a-2c）=0
∵a＞c＞0，∴a+c＞0，a=2c，椭圆的离心率为e=
故答案为：