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如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AC⊥AB,AC=...

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AC⊥AB,AC=AA1=1,AB=2,P为线段AB上的动点.
(I)求证:CA1⊥C1P;
(II)若四面体P-AB1C1的体积为manfen5.com 满分网,求二面角C1-PB1-A1的余弦值.

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(I)欲证CA1⊥C1P,可先证CA1⊥平面AC1B,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证CA1与平面AC1B内两相交直线垂直,而AB⊥CA1,AC1⊥CA1,AC1∩AB=A,满足定理条件; (II)先求出P是AB的中点,然后连接A1P,根据二面角平面角的定义可知∠C1PA1是二面角C1-PB1-A1的平面角,在直角三角形C1PA1中求出此角的余弦值即可. (I)证明:连接AC1,∵侧棱AA1⊥底面ABC,∴AA1⊥AB,又∵AB⊥AC. ∴AB⊥平面A1ACC1.又∵CA1⊂平面A1ACC1,∴AB⊥CA1.(2分) ∵AC=AA1=1,∴四边形A1ACC1为正方形,∴AC1⊥CA1. ∵AC1∩AB=A,∴CA1⊥平面AC1B.(4分) 又C1P⊂平面AC1B,∴CA1⊥C1P. (6分) (II)【解析】 ∵AC⊥AB,AA1⊥AC,且C1A1⊥平面ABB1A,BB1⊥AB, 由,知=, 解得PA=1,P是AB的中点. (8分) 连接A1P,则PB1⊥A1P,∵C1A1⊥平面A1B1BA,∴PB1⊥C1A1,∴PB1⊥C1P, ∴∠C1PA1是二面角的平面角,(10分) 在直角三角形C1PA1中,, ∴,即二面角的余弦值是
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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