Question

点M在椭圆（a＞b＞0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F．
（I）若圆M与y轴相交于A、B两点，且△ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点F（1，0），设过点F的直线l交椭圆于C、D两点，若直线l绕点F任意转动时，恒有|OC|²+|OD|²＜|CD|²成立，求实数a的取值范围．

Answer

（I）根据正三角形的性质可求得圆的半径，及M到y轴的距离，进而根据圆M与x轴相切求得，．求得a和b的关系式，进而根据c=求得a和b，则椭圆的方程可得．
（II）先看当直线与x轴垂直时，把x=1代入椭圆方程求得yA的表达式，进而根据|OC|2+|OD|2＜|CD|2恒成立求得a的范围；再看l不垂直于x轴时，设C（x1，y1），D（x2，y2）及直线方程，把直线方程代入椭圆方程消去y，根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的表达式，根据|OC|2+|OD|2＜|CD|2恒成立，看当当a2-a2b2+b2＞0对k∈R不是恒成立的．当，恒成立．当a2-a2b2+b2＜0时恒成立，进而推断出a2＜（a2-1）b2=b4，求得a的范围．最后综合可得答案．
【解析】
（I）∵△ABM是边长为2的正三角形，∴圆的半径r=2，
∴M到y轴的距离
又圆M与x轴相切，∴当x=c时，得，∴．
∴∵a2-b2=c2，
∴a2-3=2a，解得a=3或a=-1（舍去），则b2=2a=6．
故所求椭圆方程为．
（II）①当直线l垂直于x轴时，把x=1代入，得．
∵恒有|OC|2+|OD|2＜|CD|2，∴．
解得或（舍去），即．
②当l不垂直x轴时，设C（x1，y1），D（x2，y2），
直线AB的方程为
得（b2+a2k2）x2-2a2k2x+a2k2-a2b2=0，
则
∵恒有|OC|2+|OD|2＜|CD|2，∴x12+y12+x22+y22＜（x2-x1）2+（y2-y1）2，|OC|2+|OD|2＜|CD|2恒成立，得x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1-1）=（1+k2）x1x2-k2（x1+x2）+k2=，
由题意得，（a2-a2b2+b2）k2-a2b2＜0对k∈R恒成立．
当a2-a2b2+b2＞0对k∈R不是恒成立的．
当，恒成立．
当a2-a2b2+b2＜0时恒成立，∴a2＜a2b-b2，即a2＜（a2-1）b2=b4，
∵a＞0，b＞0，
∴a＜b2，即a＜a2-1，
∴a2-a-1＞0，解得或，即．
综上，a的取值范围是