满分5 > 高中数学试题 >

设曲线C:f(x)=lnx-ex(e=2.71828…),f′(x)表示f(x)...

设曲线C:f(x)=lnx-ex(e=2.71828…),f′(x)表示f(x)导函数.
(I)求函数f(x)的极值;
(II)数列{an}满足a1=e,manfen5.com 满分网.求证:数列{an}中不存在成等差数列的三项;
(III)对于曲线C上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),x1<x2,求证:存在唯一的x∈(x1,x2),使直线AB的斜率等于f′(x).
(I)先对函数进行求导,讨论满足f′(x)=0的点附近的导数的符号的变化情况,来确定极值点,求出极值即可. (II)根据递推关系求出数列通项an,假设数列{an}中存在成等差数列的三项ar,as,at,寻求矛盾即可. (III)假设存在,再进行论证 【解析】 (I),得 当x变化时,f′(x)与f(x)变化情况如下表: x f′(x) + - f(x) 单调递增 极大值 单调递减 ∴当时,f(x)取得极大值,没有极小值;      …(4分) (II)∵,∴an+1=2an+e,∴an=e(2n-1)…(6分) 假设数列{an}中存在成等差数列的三项ar,as,at(r<s<t), 则2as=ar+at,2e(2s-1)=e(2r-1)+e(2t-1),2s+1=2r+2t,∴2s-r+1=1+2t-r又s-r+1>0,t-r>0, ∴2s-r+1为偶数,1+2t-r为奇数,假设不成立 因此,数列{an}中不存在成等差数列的三项   …(8分) (III)∵f′(x)=kAB,∴,∴ 即,设,,g(x1)是x1的增函数, ∵x1<x2,∴;,,g(x2)是x2的增函数, ∵x1<x2,∴, ∴函数在(x1,x2)内有零点x,…(10分) 又∵,∴,函数在(x1,x2)是增函数, ∴函数在(x1,x2)内有唯一零点x,命题成立…(12分)
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
点M在椭圆manfen5.com 满分网(a>b>0)上,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F.
(I)若圆M与y轴相交于A、B两点,且△ABM是边长为2的正三角形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知点F(1,0),设过点F的直线l交椭圆于C、D两点,若直线l绕点F任意转动时,恒有|OC|2+|OD|2<|CD|2成立,求实数a的取值范围.
查看答案
某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.
(I)估计这次测试数学成绩的平均分;
(II)假设在[90,100]段的学生的数学成绩都不相同,且都超过94分.若将频率视为概率,现用简单随机抽样的方法,从95,96,97,98,99,100这6个数中任意抽取2个数,有放回地抽取了3次,记这3次抽取中,恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.

manfen5.com 满分网 查看答案
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AC⊥AB,AC=AA1=1,AB=2,P为线段AB上的动点.
(I)求证:CA1⊥C1P;
(II)若四面体P-AB1C1的体积为manfen5.com 满分网,求二面角C1-PB1-A1的余弦值.

manfen5.com 满分网 查看答案
已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且manfen5.com 满分网
(I)若a=7,△ABC的面积manfen5.com 满分网,求b、c的值;
(II)若manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,求manfen5.com 满分网的值.
查看答案
函数f(x)=x-2+log2(a-2x)存在零点,则实数a的取值范围是     查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.