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如图,公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面...

manfen5.com 满分网如图,公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上.
(1)设AD=x(x≥0),ED=y,求用x表示y的函数关系式;
(2)如果DE是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE的位置应在哪里?如果DE是参观线路,则希望它最长,DE的位置又应在哪里?请予证明.
(1)先根据S△ADE=S△ABC求得x和AE的关系,进而根据余弦定理把x和AE的关系代入求得x和y的关系. (2)根据均值不等式求得y的最小值,求得等号成立时的x的值,判断出DE∥BC,且DE=.进而可得函数f(x)的解析式,根据其单调性求得函数的最大值. 解(1)在△ADE中,y2=x2+AE2-2x•AE•cos60°⇒y2=x2+AE2-x•AE,① 又S△ADE=S△ABC=22=x•AE•sin60°⇒x•AE=2.② ②代入①得y2=x2+-2(y>0), ∴y=(1≤x≤2); (2)如果DE是水管y=≥, 当且仅当x2=,即x=时“=”成立,故DE∥BC,且DE=. 如果DE是参观线路,记f(x)=x2+, 可知函数在[1,]上递减,在[,2]上递增, 故f(x)max=f(1)=f(2)=5.∴ymax=. 即DE为AB中线或AC中线时,DE最长.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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