Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，D，E分别为BC，BB₁的中点，四边形B₁BCC₁是边长为6的正方形．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求证：CE⊥平面AC₁D；
（Ⅲ）求二面角C-AC₁-D的余弦值．

Answer

（1）连接A1C，与AC1交于O点，连接OD，由三角形中位线定理可得OD∥A1B，进而由线面平行的判定定理得到A1B∥平面AC1D；
（Ⅱ）由直棱柱的特征可得BB1⊥AD，由三角形三线合一可得AD⊥BC，结合线面垂直的判定定理可得AD⊥平面B1BCC1．进而AD⊥CE，由侧面B1BCC1为正方形，D，E分别为BC，BB1的中点，利用三角形全等可证得C1D⊥CE，最后再由线面垂直的判定定理证得CE⊥平面AC1D；
（Ⅲ）以B1C1的中点G为原点，建立如图空间直角坐标系，分别求出平面AC1D的一个法向量和平面ACC1的一个法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
证明：（Ⅰ）连接A1C，与AC1交于O点，连接OD．
因为O，D分别为AC1和BC的中点，
所以OD∥A1B．
又OD⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，
所以A1B∥平面AC1D．（4分）
证明：（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，
所以BB1⊥AD．
因为AB=AC，D为BC中点，
所以AD⊥BC．又BC∩BB1=B，
所以AD⊥平面B1BCC1．
又CE⊂平面B1BCC1，
所以AD⊥CE．
因为四边形B1BCC1为正方形，D，E分别为BC，BB1的中点，
所以Rt△CBE≌Rt△C1CD，∠CC1D=∠BCE．
所以∠BCE+∠C1DC=90°．
所以C1D⊥CE．
又AD∩C1D=D，
所以CE⊥平面AC1D．                （9分）
【解析】
（Ⅲ）如图，以B1C1的中点G为原点，建立空间直角坐标系．
则A（0，6，4），E（3，3，0），C（-3，6，0），C1（-3，0，0）．
由（Ⅱ）知CE⊥平面AC1D，所以为平面AC1D的一个法向量．
设n=（x，y，z）为平面ACC1的一个法向量，，．
由可得
令x=1，则．
所以．
从而．
因为二面角C-AC1-D为锐角，
所以二面角C-AC1-D的余弦值为．（14分）