Question

已知函数．
（1）确定y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）设h（x）=x•f（x）-x-ax³在（0，2）上有极值，求a的取值范围．

Answer

（1）由题意，先对函数f（x）求导，有式子特点分析得出结论；
（2）由题意，利用式子的特点及函数极值的定义分析函数在定义域内倒数的正负符号进而求解．
【解析】
（1）由已知函数求导得
设，则
∴g（x）在（0，+∞）上递减，g（x）＜g（0）=0，∴f′（x）＜0，
因此f（x）在（0，+∞）上单调递减．
（2）由h（x）=xf（x）-x-ax3可得，h（x）=ln（1+x）-x-ax3

若a≥0，任给x∈（0，+∞），，-3ax2＜0，∴h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，2）上单调递减，则f（x）在（0，2）无极值；
若a＜0，h（x）=x•f（x）-x-ax3在（0，2）上有极值的充要条件是
φ（x）=3ax2+3ax+1在（0，2）上有零点，
∴φ（0）•φ（2）＜0，解得综上所述，a的取值范围是（-∞，）．