Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若经过点M（2，m）可以作出曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer

（I）欲确定函数的表达式，先求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由函数图象过点（1，-2）及斜率列出方程求出a，b，即可求函数f（x）的解析式；
（II）先设切点为（x，y），根据导数的几何是切线的斜率，列出关于（x，的一个方程，然后根据此方程必须有三个不同的实数解，结合相应函数有三个不同的零点，最后利用函数的极值点列出不等关系即可求实数m的取值范围．
【解析】
（I）f'（x）=3ax2+2bx-3．（2分）
根据题意，得即
解得
所以f（x）=x3-3x．（4分）
（II）设切点为（x，y），则y=x3-3x，f'（x）=3x2-3，切线的斜率为3x2-3
则3x2-3=，即2x3-6x2+6+m=0．（6分）
∵过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴方程2x3-6x2+6+m=0有三个不同的实数解，（8分）
∴函数g（x）=2x3-6x2+6+m有三个不同的零点，
∴g（x）的极大值为正、极小值为负（10分）
则g'（x）=6x2-12x．令g'（x）=0，则x=0或x=2，列表：

由，解得实数m的取值范围是-6＜m＜2．（12分）